Штучний інтелект

Анотація: Стаття присвячена розробці та аналізу апроксимаційно - ітераційних алгоритмів, заснованих на методі сіток та методі прямих, для розв'язання задачі оптимального керування еліптичною системою зі степеневою нелінійністю. Для числового розв'язання основної та спряженої крайових задач використано різницеві схеми другого порядку точності із застосуванням неявного методу простої ітерації. Обчислювальні схеми методу прямих для розв'язання зазначених еліптичних крайових задач реалізовані у поєднанні з методом стрільби для наближеного розв'язання крайових задач для відповідних систем звичайних диференціальних рівнянь, виникаючих у розглядуваній області після решітчастої апроксимації. Для мінімізації цільового функціонала використано відомі методи умовної оптимізації градієнтного типу (методи проєкції градієнта та умовного градієнта). Суть пропонованого апроксимаційно - ітераційного підходу полягає в заміні вихідної екстремальної задачі послідовністю сіткових задач, апроксимуючих її на сукупності сіток, що подрібнюються, і застосуванні того чи іншого ітераційного методу градієнтного типу до кожної з «наближених» екстремальних задач. При цьому пропонується будувати лише декілька наближень до розв’язку кожної із «наближених» задач і приймати останнє з цих наближень, використовуючи кусково лінійну інтерполяцію за початкове наближення в ітераційному процесі для наступної «наближеної» задачі. Послідовність відповідних кусково лінійних інтерполянтів розглядається як послідовність наближень до розв’язку вихідної екстремальної задачі. У роботі обговорюються теоретичні основи такого комбінованого підходу, а також його переваги перед традиційними методами на прикладі розв’язання модельної задачі оптимального керування.

Ключові слова: задача оптимального керування, еліптична система, степенева нелінійність, метод сіток, метод прямих, апроксимаційні схеми.

Посилання:

1. Шевченко А.И., Миненко А.С. (2012) Методы исследования нелинейных математических моделей. К.: Наук. думка.
2. Lions J.-L. (1971) Optimal control of systems governed by partial differential equations. Berlin: Springer-Verlag.
3. Муравей Л.А., Петров В.М., Романенков А.М. (2018) Оптимальное управление нелинейными процессами в задачах математической физики. М.: Изд-во МАИ.
4. Neittaanmaki P., Sprekels J., Tiba D. (2006) Optimization of elliptic systems: theory and applications. New York: Springer. doi: 10.1007/b138797.
5. Когут О.П., Когут П.І., Рядно О.А. (2010) Оптимізація в нелінійних еліптичних крайових задачах. Дніпропетровськ: ДДФА.
6. Серовайский С.Я. (2006) Оптимизация и дифференцирование. Т. 1. Минимизация функционалов. Стационарные системы. – Алматы: Print-S.
7. Шевченко А.И., Миненко А.С. (2015) Качественные свойства решений одного класса эволюционных систем. Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 1, 36-40. doi: 10.15407/dopovidi2015.01.036.
8. Cindea N., Matei A., Micu S., Niţă C. (2020) Boundary optimal control for antiplane problems with power-law friction. Applied Mathematics and Computation, 386(6): 125448. doi: 10.1016/j.amc.2020.125448.
9. Wang K., Zhao D., Feng B. (2018) Optimal nonlinearity control of Schrödinger equation. Evolution Equations and Control Theory, 7(2), 317-334. doi: 10.3934/eect.2018016.
10. Serovaiskii S.Ya. (2010) The necessary optimality conditions for a nonlinear stationary system whose state functional is not differentiable with respect to the control. Russian Mathematics, 54(6), 26–38. doi: 10.3103/S1066369X10060046.
11. Серовайский С.Я. (1984) Задача оптимального управления для эллиптической системы со степенной нелинейностью. Сибирский математический журнал, 25(1), 120-125.
12. Hervé Le D. (2018) Nonlinear elliptic partial differential equations: Аn introduction. – Cham: Springer.
13. Серовайский С.Я. (1991) Необходимые и достаточные условия оптимальности для системы, описываемой нелинейным эллиптическим уравнением. Сибирский математический журнал, 32(3), 141–150.
14. Samarskii A.A. (2001) The theory of difference schemes. New York: Marcel Dekker Inc.
15. Ляшко А.Д. (1972) Метод прямых для квазилинейных эллиптических уравнений. Дифференциальные уравнения, 8(5), 891-901.
16. Гарт Л.Л. (2017) Проекційно-ітераційні методи розв’язання операторних рівнянь та задач нескінченновимірної оптимізації. Дис... д-ра фіз.-мат. наук, 01.05.01, МОН України, Дніпро: ДНУ.
17. Васильев Ф.П. (1974) Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ.
18. Балашова С.Д., Тавадзе Л.Л., Тавадзе Э.Л. (1991) Применение проекционно-итерационных методов к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Днепропетровск. Деп. в ВИНИТИ 13.06.91, № 2486–В 91, 28 c.
19. Stoer J., Bulirsch R. (2002) Introduction to Numerical Analysis. New York : Springer.
20. Гарт Л.Л., Поляков М.В. (2004) Порівняльний аналіз ітераційних схем методу прямих для розв’язання слабконелінійної еліптичної задачі. Питання прикладної математики і математичного моделювання, 47-57.
21. Балашова C.Д., Тавадзе Э.Л. (1996) О сходимости проекционно-итерационного метода решения экстремальной задачи с ограничениями. Математические модели и вычислительные методы в прикладных задачах, 1-8.